Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

Метод наложения

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

.

(1)

Здесь   - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях;   - комплекс взаимной  проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом   , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока  , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например  , то получим

,

(2)

где   - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;   - алгебраическое дополнение определителя  .

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для контурного тока   в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один  -й контур, т.е. контурный ток  будет равен действительному току   h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов   любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на     рис. 1,б…1,г.

В этих цепях

 ;   ;   ,

где  ;  ;  .

Таким образом,

 .

В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости   и   в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны   и  , а при переводе в положение 2 -   и  .

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении "1” можно записать

;

(3)

.

(4)

При переводе ключа в положение "2” имеем

;

(5)

..

(6)

Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим

 ;

 ,

откуда искомые проводимости

 ;       .

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток   в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС  , находящейся в i – й ветви,

будет равен току   в i – й ветви, вызванному ЭДС  , численно равной ЭДС  , находящейся в  k – й ветви,

 .

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение  .

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС  , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток   (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС   вызовет в первой ветви такой же ток   (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток  , вызываемый источником ЭДС  .

Перенесение источника ЭДС   в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,б. В этой цепи

,

(7)

где  .

В соответствии с принципом взаимности ток   в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

.

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

,

(8)

где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС   в  k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать

(9)

и для тока в n – й ветви –

.

(10)

Здесь   и   - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме  .

Умножив левую и правую части (10) на  , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

.

(11)

Обозначив в (11)   и  , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами   и   в схеме с переменным резистором на  рис. 5, где  ;  ;  .

Коэффициенты А и В  можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям  .

Выбрав в качестве этих значений   и  , для первого случая (  ) запишем

 .

Таким образом,  .

При   (режим короткого замыкания)

 ,

откуда

 .

На основании (8)

 .

Таким образом,

 .

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением  , по которой протекает ток  , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

При включении в ветвь с   двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с   (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

.

(12)

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током   можно заменить источником тока  .

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
2. В каких случаях эффективно применение метода наложения?
3. Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
4. Докажите теорему взаимности.
5. Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?
6. Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?
7. Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.

Ответ:  , где  ;  .

8. В цепи на рис. 2  . Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.

Ответ:  ;  .