1. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС   для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной   ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.

 .

2. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем  . Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным.
3. Комплексно-сопряженным корням уравнения   в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место

 .

Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом

1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.

2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).

3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных  цепей в операторной форме с учетом начальных условий.

4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.

5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.

В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.

С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока

 .

Для нахождения оригинала   воспользуемся формулой разложения при нулевом корне

,

(1)

где  ,  .

Корень уравнения 

 .

Тогда

и

 .

Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим

 .

Воспользовавшись предельными соотношениями, определим   и  :

Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

1. Формула включения на экспоненциальное напряжение 

,

(2)

где   - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома);   - к-й корень уравнения  .

2. Формула включения на постоянное напряжение   (вытекает из (2) при  )

 .

3. Формула включения на синусоидальное напряжение   (формально вытекает из (2) при   и  )

.

В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением  ;  ;  .

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней  . Тогда корень уравнения  . Производная   и  .

В результате

 .

Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями

Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, позволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.

Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где  . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая   общего тока   равна нулю. Таким образом, полный ток   равен составляющей тока   в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.

Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС   к пассивному двухполюснику.

Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.

Переходная проводимость

При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде

 ,

где   - собственная (к=m) или взаимная   проводимость.

Это соотношение, трансформированное в уравнение

,

(3)

будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения  . При этом  является функцией времени и называется переходной проводимостью.

В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению  .

Переходная функция по напряжению

Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.

Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения  , то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение

 ,

где   - переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения  .

Переходную проводимость   и переходную функцию по напряжению   можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.

В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.

В этой схеме

 ,

где  .

Тогда переходная проводимость

 .

Переходная функция по напряжению

 .

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

1. Как в формуле разложения учитываются при наличии источника синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия?
2. Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных цепях при синусоидальном питании?
3. Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов.
4. Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов?
5. Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения.
6. В каких случаях применяются формулы включения?
7. Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению?
8. На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи:     .

Ответ:  .

9. С использованием формулы включения найти ток   в неразветвленной части цепи на рис. 5,

	если :  ;  ; .
	Ответ:  .