Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, т.е. его можно разложить в ряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его гармонических затухание и фазовая скорость различны, т.е. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым затуханием, поскольку только в этом случае, сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному.

Идеальным в этом случае является так называемая линия без потерь, у которой сопротивление   и проводимость   равны нулю.

Действительно, в этом случае

 ,

т.е. независимо от частоты коэффициент затухания   и фазовая скорость

 .

Однако искажения могут отсутствовать и в линии с потерями. Условие передачи сигналов без искажения вытекает из совместного рассмотрения выражений для постоянной распространения

(1)

и фазовой скорости

.

(2)

Из (1) и (2) вытекает, что для получения   и  , что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы  , т.е. чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты.

.

(3)

Как показывает анализ (3), при

(4)

  есть вещественная константа.

Линия, параметры которой удовлетворяют условию (4), называется линией без искажений.

Фазовая скорость для такой линии

и затухание

 .

Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных)  . Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.

Уравнения линии конечной длины

Постоянные   и   в полученных в предыдущей лекции формулах

;

(5)

(6)

определяются на основании граничных условий.

Пусть для линии длиной l (см. рис. 1) заданы напряжение   и ток   в начале линии, т.е. при  .

Тогда из (5) и (6) получаем

откуда

Подставив найденные выражения   и   в (5) и (6), получим

(7)

(8)

Уравнения (7) и (8) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение   и ток   в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) и (6) в виде

;

(9)

.

(10)

Обозначив   и  , из уравнений (9) и (10) при   получим

откуда

После подстановки найденных выражений   и   в (9) и (10) получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии

;

(11)

.

(12)

Уравнения длинной линии как четырехполюсника

В соответствии с (11) и (12) напряжения и токи в начале и в конце линии связаны между собой соотношениями

 ;

 .

Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого  ;   и  ; при этом условие   выполняется.

Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.

Определение параметров длинной линии из опытов
холостого хода и короткого замыкания

Как и у четырехполюсников, параметры длинной линии могут быть определены из опытов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).

При ХХ   и  , откуда входное сопротивление

.

(13)

При КЗ   и  . Следовательно,

.

(14)

На основании (13) и (14)

(15)

и

 ,

откуда

.

(16)

Выражения (15) и (16) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметры   и   линии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры   и  .

Линия без потерь

Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры   и   равны нулю. В этом случае, как было показано ранее,   и  . Таким образом,

 ,

откуда  .

Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента  :

Тогда для линии без потерь, т.е. при  , имеют место соотношения:

   и   .

Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:

;

(17)

.

(18)

Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении   и  , что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).

Стоячие волны в длинных линиях

Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают стоячие волны.

Рассмотрим два предельных случая: ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю.

При ХХ на основании уравнений (17) и (18) имеем

   и   ,

откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать

;

(19)

.

(20)

Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами.

При ХХ в соответствии с (19) и (20) в точках с координатами  , где   - целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами. В точках с координатами   пучности и узлы напряжения и тока меняются местами (см. рис. 2). Таким образом, узлы и пучности неподвижны, и пучности одной переменной совпадают с узлами другой и наоборот.

При КЗ на основании уравнений (17) и (18)

   и  ,

откуда для мгновенных значений можно записать

т.е. и в этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что называется линией без искажений? Как соотносятся первичные параметры в такой линии?
2. Запишите уравнения линии конечной длины для случаев, когда заданы ее входные напряжение и ток и когда выходные.
3. Как определяются параметры цепи с распределенными параметрами?
4. Что называется линией без потерь? Какими свойствами она обладает?
5. При каких условиях в линии образуются стоячие волны?
6. Определить напряжение и ток на входе трехфазной линии электропередачи длиной  , если  ,  ,  . Параметры линии на фазу:  ,  ,  ,  . Определить КПД линии.

Ответ:  ;  ;  .

7. Определить входное сопротивление линии без потерь длиной в четверть волны, нагруженной на емкостную нагрузку   при частоте 100 МГц. Волновое сопротивление  .

Ответ:  .

8. Однородная двухпроводная линия без искажений имеет волновое сопротивление  , скорость распространения волны   и затухание 1,5 Неп на 100 км. Определить первичные параметры линии, и также ее КПД при длине   и нагрузке, равной волновой.

Ответ:  ;  ;  ;  ;  .

9. Линия без потерь нагружена на емкостное сопротивление, численно равное волновому.  ,  . В конце линии  . Найти   на расстоянии 1м от конца линии.

Ответ:  .

10. Линия без потерь длиной   разомкнута на конце.  , в начале линии  . Найти   в середине линии.

Ответ:  .