С учетом граничных условий расчет переходных процессов в цепях с распределенными параметрами можно проводить как при нулевых, так и ненулевых начальных условиях. Однако в первом случае анализ осуществляется в целом проще, что определяет целесообразность сведения расчета к нулевым начальным условиям. Пример такого сведения на основе принципа наложения для задачи на подключение в конце линии нагрузки схематично иллюстрирует рис. 1, где в последней схеме сопротивление   имитирует входное сопротивление активного двухполюсника.

Таким образом, если к линии, в общем случае заряженной, подключается некоторый в общем случае активный двухполюсник, то для нахождения возникающих волн необходимо определить напряжение   на разомкнутых контактах ключа (рубильника), после чего рассчитать токи и напряжения в схеме с сосредоточенными параметрами, включаемой на это напряжение   при нулевых начальных условиях. Полученные напряжения и токи накладываются на соответствующие величины предыдущего режима.

При отключении нагрузки или участков линии для расчета возникающих волн напряжения и тока также можно пользоваться методом сведения задачи к нулевым начальным условиям. В этом случае, зная ток   в ветви с размыкаемым ключом (рубильником), необходимо рассчитать токи и напряжения в линии при подключении источника тока   противоположного направления непосредственно к концам отключаемой ветви. Затем полученные токи и напряжения также накладываются на предыдущий режим.

В качестве примера такого расчета рассмотрим длинную линию без потерь на рис. 2, находящуюся под напряжением  , к которой подключается дополнительный приемник с сопротивлением  .

В соответствии со сформулированным выше правилом схема для расчета возникающих при коммутации волн будет иметь вид на рис. 3. Здесь

 ;

и в соответствии с законом Ома для волн

 .

Соответствующие полученным выражениям эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии представлены на рис. 4.

Отметим, что, поскольку

 ,

к источнику от места подключения нагрузки   пошла волна, увеличивающая ток на этом участке.

Если наоборот приемник с сопротивлением   не подключается, а отключается, то расчет возникающих при этом волн тока и напряжения следует осуществлять по схеме рис.5.

Правило удвоения волны

Пусть волна произвольной формы движется по линии с волновым сопротивлением   и падает на некоторую нагрузку   (см. рис. 6,а).

Для момента прихода волны к нагрузке можно записать

;

(1)

или

.

(2)

Складывая (1) и (2), получаем

.

(3)

Соотношению (3) соответствует расчетная схема замещения с сосредоточенными параметрами, представленная на рис. 6,б. Момент замыкания ключа в этой схеме соответствует моменту падения волны на нагрузку   в реальной линии. При этом, поскольку цепь на рис. 6,б состоит из элементов с сосредоточенными параметрами, то расчет переходного процесса в ней можно проводить любым из рассмотренных ранее методов (классическим, операторным, с использованием интеграла Дюамеля).

Следует отметить, что, если в длинной линии имеет место узел соединения других линий или разветвление, то в соответствии с указанным подходом эту неоднородность следует имитировать резистивным элементом с соответствующим сопротивлением, на который падает удвоенная волна.

Пусть, например, линия с волновым сопротивлением   разветвляется на две параллельные линии с волновыми сопротивлениями   и   (см. рис. 7,а). Узел разветвления в расчетном плане эквивалентен резистивному элементу с сопротивлением

 ,

при этом расчетная схема замещения для момента прихода волны к стыку линий имеет вид на рис. 7,б.

Так, если падающая волна напряжения имеет прямоугольную форму и величину  , то в соответствии со схемой замещения на рис. 7,б напряжение на стыке линий в момент прихода волны

 .

Этой величине будут равны волны напряжения, которые пойдут далее в линии с волновыми сопротивлениями   и  . Отраженная же волна, которая пойдет по линии с волновым сопротивлением  , будет характеризоваться напряжением

 .

Таким образом, по правилу удвоения волны определяются отраженные (появившиеся в результате отражения от неоднородности) и преломленные (прошедшие через неоднородность) волны, расчет которых осуществляется по схемам замещения с сосредоточенными параметрами. Следовательно, методика расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами состоит в последовательном составлении схем замещения с сосредоточенными параметрами для каждого момента прихода очередной падающей волны на очередную неоднородность и расчете по ним отраженных и преломленных волн.

В качестве примера рассмотрим падение прямоугольной волны напряжения величиной   на включенный в конце линии конденсатор   (см. рис. 8,а).

Для расчета напряжения на конденсаторе и тока через него в момент прихода волны к концу линии составим схему замещения с сосредоточенными параметрами (см. рис. 8,б). Для этой схемы можно записать

 ,

где  .

Это напряжение определяется суммой прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн, т.е.

 ,

откуда для отраженной волны имеет место соотношение

или для той же волны в произвольной точке линии с координатой  , отсчитываемой от конца линии, с учетом запаздывания на время   -

 .

Соответственно для отраженной волны тока можно записать

 .

Эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени  , когда отраженная волна прошла некоторое расстояние  , представлены на рис. 9. В этот момент напряжение на конденсаторе

и ток через него

 .

В качестве другого примера рассмотрим падение прямоугольной волны напряжения величиной    на включенный в конце линии индуктивный элемент (см. рис. 10,а). В соответствии с расчетной схемой на рис. 10,б для тока через катушку индуктивности и напряжения на ней соответственно можно записать

 ;

 ,

где 

С учетом этого выражения для отраженных волн напряжения и тока в произвольной точке линии имеют вид

 ;

 .

Эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени   приведены на рис. 11.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Как расчет переходных процессов в длинных линиях сводится к нулевым начальным условиям?
2. В чем смысл правила удвоения волн, для чего оно используется?
3. Сформулируйте методику расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами.
4. Что называется отраженными и преломленными волнами?
5. В линии на рис. 2  ,  ,  . Определить волны тока и напряжения, возникающие при коммутации, если  .

Ответ:  ;  ;  .

6. Рассмотреть падение волны напряжения, возникшей при коммутации в схеме предыдущей задачи, на резистор   и определить обратные волны тока и напряжения, образующиеся при этом падении.

Ответ:  ;  .

7. К линии, находящейся под напряжением  , подключается незаряженная линия (см. рис. 12). Определить волны тока и напряжения, возникающие при этой коммутации, если  ,  .

Ответ:   ;  ;  .



8. Рассмотреть падение волны напряжения при коммутации в схеме предыдущей задачи на резистор   и определить возникающие при этом обратные волны напряжения и тока.

Ответ:  ;  .

9. Однородная длинная линия с   нагружена на емкостный элемент с  . Посередине линии параллельно ему включен еще один конденсатор с  . От генератора вдоль линии распространяется волна напряжения, которую до падения на конденсатор   можно считать прямоугольной с  . Записать выражение для напряжения на конденсаторе  .

Ответ:  .